由此，可以得出，对于任何固定的行走时间◆◆◆★，最后一步离开原点的方向（向上或向下）的概率是相等的。
然后★◆，随机选择第二个球，这个球对应原问题中的第一个球◆★◆。问题告诉你，你选了一个红球，所以它在你扔掉的球的右边。
也就是说★■，罐子问题是完全依赖于，红球数量是根据所谓的均匀分布（即从瓮中抽取）来选择的★◆■■★★。
就比如，前段时间，他发布的有关掷硬币的一个谜题，便吸引了2万多人参与讨论。
对于自己所出的概率题，Litt也做了一个证明，但仅是一个复杂，且缺乏理论的论证★■◆。
所以Alice会以压倒性的优势获胜，这意味着她在游戏中浪费了一些期望得分。
Alice和Bob各抛硬币100次（正面是H，反面是T）★◆★。每当连续出现两个正面HH时，Alice得1分；出现正反面HT时，Bob得1分。因此◆★，现在，二人已经得到了「THHHT」，因此Alice得2分，Bob得1分■■，最后谁更有可能获胜？
而且◆★■◆■，Litt表示，我不知道是否存在一个证明，能够完全解释这种现象，特别是一个适用于任意次数翻转的证明◆■■。
由于可能在HT^n H步骤的中间结束■★★，（在给Bob一个使游戏平局的分数后，但在返回到H之前），而不可能在HH的中间结束■◆■★■，所以Alice获胜的可能性比Bob小。
另一位统计学博士Jonatan Pallesen提出了一个很好的启发性解释：
我确实感到惊讶的是，我们在这类问题上表现得如此糟糕◆◆■■◆★，因为概率与现实世界的活动有着如此明显的相关性。我们必须不断地观察世界并评估可能性，然后决定行动方案。
人们喜欢在社交媒体上吐槽◆★★◆★，Litt的谜题下面，也逐渐成为大家讨论的社区，构建起一个概率圈的生态系统。
这意味着，游戏结束时，我们同样可能在原点之上（Alice赢，或者存在一个可能让游戏平局HT^n H的中间步骤），或原点之下（Bob赢）◆■★◆。
或许这个问题确实对于一些专业人士来说◆■◆■■，的确轻而易举。但多数人还是会掉入陷阱，为什么对他们来说，这道题会如此困难★◆◆★？
之所以在X上讨论数学◆★■◆◆，是因为2020年疫情期间◆★★，Litt感到非常孤独，便发现在社交媒体中，与随机的人聊自己喜欢的主题可以获得快乐。
但你也可以计算「二阶矩」，即对差异的平方求平均值，以及「三阶矩」★◆★★■◆，即对差异的立方求平均值等等★◆★◆。
其实，这是一个随机选择的概率，但从中获得的信息★★◆★◆★，会影响我们对后续事件概率的判断。
这道题■■◆■，究竟为什么如此反直觉■◆■■？为什么简单的概率问题，会如此出人意料地困难？
而现在，又有后继者，另一位数学家Svante Janson以及Nica正在撰写一个证明◆★◆◆。
那么，即便你知道了第一个球是红色的，但对下一个球来说，没有什么含义，进而不会影响后续抽取概率。
在这三种可能性中，有两种情况下，第三个选中的球是红色的。所以球是红色的概率是2/3。
按理说，如果拿出了一个红球，那么瓮中红球的数量就减少了★■■★◆◆，所以下一个球就更有可能是绿色的。
但在生活中，有些活动却与概率问题息息相关★◆。我们通过不断观察世界★◆★★■，评估概率，然后再做出行动方案。
一直以来，Litt专注于研究代数几何和数论交集的领域，而在概率论方面■■◆◆◆，他还只是业余爱好者。
你有一个装有100个球的罐子，罐子看不到里面，其中有n个红球◆★■■■■，「100-n」个绿球。n为「0,100」之间的一个随机数。你伸手进入罐子并取出一个球，它是红色的，把它扔掉后，如果你现在再取出一个球，它更有可能是红色还是绿色？或者两种颜色的可能性是相等的◆◆★■？100个红绿球，让2万人集体翻车，数学家「罐中难题」引爆全网讨论！
Litt表示，没有什么比出一道多项选择题更令人兴奋的了★■★，而且50000人的成绩甚至比随机选择的还要差
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当你查看Alice和Bob的得分之间的所有可能差异■■★◆，这些差异的平均值为0，这也是使其成为一个难题的部分原因。
Litt表示，这位来自伦敦的数学研究者George Lowther的解释★■◆◆，给出了自己最为喜欢的思考方式——
此外，他本人其他感兴趣方向包括，关于正性和消失性定理的问题，代数簇的动力学，以及霍奇理论（广义理解）。
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然后★★★■■◆，把它左边的球涂成绿色★★■★★，右边的球涂成红色，再把手里的球扔掉，便剩下100个球。
相较之下■◆，Bob可能会赢得更多比赛，但每次获胜优势较小。通过模拟验证，可以证明这个结果是正确的。
修改起始分布非常容易，这样就能获得红色、绿色、或可能性等同的三种答案中的一种。
2015年，他获得了斯坦福大学博士学位。2018年在哥伦比亚大学担任NSF博士后。另外■◆★★◆■，2018-2019年，他还是高级研究所的成员。
Litt表示，「虽然概率论与日常的数学思考内容■◆◆◆，相去甚远，但也涉及到了自己一些相对熟悉的东西」。
想象一下■★◆，一开始有101个球排成一行，而非100个球，再随机挑选一个球。
他将抛硬币问题比作成一个「随机行走」的问题，其中向上和向下的步骤概率相等，但速度分布不同。
总的来说，Litt对代数几何和数论之间的相互作用感兴趣■★◆★，对拓扑学也有一定的兴趣。
比如，他的程序可以证明在n次抛掷后（当n非常大时）■★★★◆★，平局的概率大约是1/√n乘以某个明确的常数。
如果你去钓鱼，并很快钓到一条鱼★★◆，便会期望湖里有更多的鱼。同样，如果你已经拿到一个红球★◆■★◆，这表明罐子里有很多红球。
在100次抛掷中，Alice的分数可以高达99，但Bob最多只能得50分。
目前■■★★，他得到了NSERC的资助项目——算术和代数几何中的Anabelian方法，还曾是斯隆的研究奖学金获得者，以及安大略省的早期研究人员。100个红绿球，让2万人集体翻车，数学家「罐中难题」引爆全网讨论！
对于这些问题，很多人提出了不错的论证，但他个人仍然觉得，无法实现直观的理解■★。至少从业余观点来看，其中有很多令人惊讶的有趣的数学。
《长相思2》近期的加更决定如同投入湖面的石子，激起了广泛涟漪。这部古装奇幻剧凭借独特情节、精美的服饰化妆和深刻的角色刻画■★■◆，早已俘获众多观众的心，晋升为现象级作品。加更消息的公布不仅让粉丝雀跃不已，也引起了娱乐圈的广泛关注
从中可以获得的关键观察是，返回原点所需的时间，与第一步向上还是向下无关■◆■。
Daniel Litt目前是多伦多大学数学助理教授◆★◆。2019-2022年，他也曾在佐治亚大学担任助理教授。
一个直觉是，Alice可以在短时间内得很多分。例如，在连续出现正面HHHHHHH情况下，她在第一次之后的每次抛掷中都得分。
Litt称，虽然我不是心理学专家，但人们在考虑问题各个方面，都会变现出规避风险，由此会系统地高估了/低估了极不可能发生事件的概率。
美媒◆■◆：内塔尼亚胡“最后一刻”否决以防长访美行程，再次表明◆■◆“双方关系紧张◆■◆★★◆”
当自己发现得到了一个很酷、且反直觉的答案时，便会将谜题发在X上，让大家一起破解。
Zeilberger和数学家Mihai Nica提出了一个猜想，即仅仅知道二阶和三阶矩，就足以确定谁赢得更多的比赛★■。
今年1月份，当数学家Daniel Litt在网上发出这道题后，引爆了众多数学家、计算机科学家和经济学家的解题热情！
如果调整分布，就会完全改变答案■◆★■，因此★◆■，一个人的直觉必须对问题的设置非常敏感，这才是解决此类问题的关键★◆◆★。
客战澳大利亚！韦世豪、李磊■■◆■★◆：每一个队员都做好了准备 不能放弃 残阵出击前景待考
当抽出的是一个红球，告诉你的信息是■■★◆◆◆，自己处于一个「红色的世界」中★◆■■，但也只是因为Litt这样设置的问题。
另有一位来自罗格斯大学教授Doron Zeilberger，在这些问题中发现了有价值的内容◆■◆◆，并发表了论文■★。
目前，他的研究重点是，代数簇基本群上的算术结构◆■◆◆★，以及这些结构和簇的几何之间的关系。
对此，Litt设计了一系列罐子问题，每一个都是为了打败某人为之前某个变体提出的启发性解释而设计的。
有人对此推理的是★◆◆★■■，如果列出100次抛硬币的所有不同结果，并计算出Alice和Bob的分数◆◆◆■★■。他认为每个人总分相同。
这道100个红绿球的「罐中谜题」，两万多人中仅有20%能答对■■？这位数学家为我们揭示了，为何概率推理谜题如此反直觉的原因■■。现在■★◆◆★，这些已经掀起全网大讨论◆■◆■★，它们绝不仅仅是脑筋急转弯，甚至还催生出了数篇学术论文！
论文中◆■，Zeilberger编写了一个软件包★★，用于分析这类概率问题的长期行为。
美媒：内塔尼亚胡“最后一刻”否决以防长访美行程■■◆★■，再次表明“双方关系紧张”
